Função de 1° Grau

Análise da função de 1° grau através do estudo algébrico dessas funções e do estudo dos gráficos e elementos que constituem esse conceito. Essa seção aborda conceitos de cálculos algébricos, representações gráficas, interpretações de um gráfico e estudo das equações e inequações.

Gráfico de uma função do 1° grau.
Gráfico de uma função do 1° grau.

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

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Seno, Cosseno, Tangente

Seno e cosseno

Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.

 

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x’,y’) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x’,0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y’).

A medida do segmento OB coincide com a ordenada y’ do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).

Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos

sen(AM)=sen(a)=sen(a+2kpi)=y’

 

Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.

 

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x’ do ponto M.

Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos

cos(AM) = cos(a) = cos(a+2kpi) = x’

Tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t’). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

tan(AM) = tan(a) = tan(a+kpi) = µ(AT) = t’

Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.

Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:

cos(0)=1,    sen(0)=0    e    tan(0)=0

Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes

Ângulos no segundo quadrante

Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo pi/2<a<pi. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.

Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:

cos(pi/2)=0    e    sen(pi/2)=1

A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

Ângulos no terceiro quadrante

O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: pi<a<3pi/2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M’=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.

Em particular, se a=pi radianos, temos que

cos(pi)=-1,    sen(pi)=0    e    tan(pi)=0

Ângulos no quarto quadrante

O ponto M está no quarto quadrante, 3pi/2<a< 2pi. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede 3pi/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3pi/2, temos:

cos(3pi/2)=0,   sin(3pi/2)=-1

Simetria em relação ao eixo OX

Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M’ o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M’ possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’, obtemos:

sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M’ simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M’ possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.

Regra de Três

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

        Passos utilizados numa regra de três simples:

        1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

        2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

        3º) Montar a proporção e resolver a equação.

        Exemplos:

        1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

        Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x

        Identificação do tipo de relação:

regra3_1.gif (1652 bytes)

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

regra3_2.gif (1724 bytes) regra3_3.gif (1426 bytes)

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


        2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

        Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x

        Identificação do tipo de relação:

regra3_4.gif (1814 bytes)

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando – diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

regra3_5.gif (1857 bytes) regra3_6.gif (2058 bytes)

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.


        3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

        Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x

        Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

regra3_7.gif (1325 bytes)

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


        4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

        Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x

        Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo – aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

regra3_8.gif (1931 bytes)

Matemática no Mundo – Função Afim

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

Domínio: D = R                                     Imagem: Im = R

São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.

Vídeo aula sobre função afim:

Matemática na Mundo – Função Quadrática

Uma relação de IR em IR recebe o nome de equação do 2º grau quando associa a cada elemento x  IR , um elemento do tipo ax2 + bx + c, sempre com a diferente de 0, assim definida como uma função de f: IR → IR.

Exemplo :

x2 + 3x + 4 → a = 1, b = 3, c = 4

-2x2 -x +9 → a = -2, b = -1, c = 9

Onde a, b, c são denominados coeficientes.

Raízes de uma equação do 2º grau

ax2  + bx + c = 0 , para calcularmos o valor de x que satisfaz a igualdade iremos primeiro demonstrar a equação de Bháskara (1114-1185), o mais importante matemático do século XII.

ax2 + bx + c → 4a(ax2 + bx + c) = 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Completando os quadrados temos que:

4a2x2 + 4abx+b2-b2+4ac = 0 , note que: 4a2x2 + 4abx+b2 = (2ax+b)2

Então: (2ax+b)2 – b2 + 4ac = 0 → (2ax+b)2 = b2 – 4ac

,

Por fim:  onde iremos atribuir ao discriminante b2 – 4ac = ∆ ,

repare que :

Quando Δ > 0, obtemos duas raízes reais do tipo:  ,
Quando Δ = 0, obtemos uma raiz real do tipo: 
Quando Δ < 0, obtemos duas raízes não reais, assim  .

 

Vídeo aula sobre funções quadráticas: